Factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:

1º Factor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

EJEMPLOS: Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

2º Igualdad notable

Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces:

 x² − 4 = (X + 2) · (X − 2)       

Las raíces son X = − 2 y X = 2

 x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x² + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.3º Polinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1. Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3. Dividimos por Ruffini.

4. Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras, asi que seguimos por ruffini.

El polinomio se queda como:

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

EXTRAIDO DE: http://www.vitutor.net/1/factorizar.html