Desde el blog de matemáticas de 4º os deseo...

★Feliz Navidad 

y 

Feliz 2015★

Que empecéis un nuevo año cargado de ilusión y de buenos deseos.

☆☆☆☆☆☆☆

Cristina

Ficha de funciones para navidad

Aquí os subo los ejercicios de funciones que os dije, teníais que descargaros en navidad. En el estudio de las gráficas, puede que haya algo que no hayamos visto, pero por lo general, podéis hacerlo todo sin problema.

A disfrutar de la navidad, os lo merecéis.

Tema 4. Funciones y características

Aquí tenéis la presentación que hemos estado usado estos días para explicar el tema 4. Os recomiendo que la tengáis presente cuando estudiéis el tema. Espero que os sirva de ayuda. 

Si quereis descargarlo, teneis que pulsar en la flechita del margen azul y se os descargará en PDF.

Plantilla del examen PARTE 2 (recuperación)

Lo prometido es deuda, aquí os subo la plantilla de corrección para que os hagáis al menos una idea de como os salió (aunque si me da tiempo, subiré las notas a la plataforma). Ya sabéis que valoraré el ejercicio 1 de las dos formas (fallo mio) y que muchas veces los puntos de la plantilla varían en mi corrección para beneficiaros un poco.

Buen puente chicos!


https://drive.google.com/file/d/0B_ELUXViFknFN0l2azdTT1RESk0/view?usp=sharing

Modelo Parte 2

Aquí os dejo el enlace a los modelos del examen dos para que os lo descarguéis y lo imprimáis mas rápido. Empezaremos con ellos en breve. 

Modelos de Exámenes Parte 2

(Y esto es lo que NO tenéis que hacer en el examen... jejejeje)

Inecuaciones y sistemas

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos

Notación de las inecuaciones

En las inecuaciones nos pueden aparecer diferentes signos que ya conocemos y que nos dice si  el numero que estamos buscando está o no incluido en nuestra desigualdad. Recordamos:

. 

Inecuaciones de primer grado

Las desigualdades (o inecuaciones) de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado, la solución va a cambiar dependiendo de la signo que tenga la desigualdad.

Inecuaciones de segundo grado

Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.

Ejercicios de inecuaciones

• 
  

Solucionario Libro Anaya 4º ESO ( TEMA 3 )

Lo prometido es deuda. Usadlo con cabeza como ya os dije en clase. 

Tema 3

Sistemas de ecuaciones LINEALES

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los metódos de sustitución, igualación y reducción. Como hemos dicho en clase, se pueden usar indiscriminadamente, pero hoy hemos visto algún que otro truquillo para saber cual nos viene mejor en cada momento. 

Método de sustitución

Método de reducción

Método de igualación

Extraido de: http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm

y entre tantas ecuaciones... NOS VAMOS DE CONVIVENCIA !

El miércoles nos tomamos un respiro entre X e Y, ecuaciones bicuadradas, trabajo cooperativo y algún que otro examen para pasar un día al aire libre, convivir entre nosotros y aprender a ver CON OTRA MIRADA. Aquí os dejo unas cuantas fotos de las que hicimos.

Tema 3. Tipos de ecuaciones

Este tema lo hemos iniciado viendo los 5 tipos de ecuaciones que nos podemos encontrar. Hacemos un pequeño esquema de como se resuelven cada una de ellas:


ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Depende si está completa o incompleta la resolveremos asi:

• Ecuación de segundo grado COMPLETA: Usamos la fórmula ya conocida:

Ejemplo: 



• Ecuación de segundo grado INCOMPLETA: 
• ax² = 0





• ax² + bx = 0  --> Se resuelven extrayendo factor común. El primer resultado siempre será 0 y el otro resultado se resolverá despejando.

;;; 

• ax² + c = 0

1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.
2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo.
3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros.

ECUACIÓN BICUADRADA:

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar (solo tendremos grado 4, grado 2 y grado 0).

Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio x² = t, x⁴ = t²; con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t: (en clase lo hemos realizado sustituyendo por z, pero realmente, cualquier letra nos valdría).

ECUACIÓNES CON X EN EL DENOMINADOR:

Los pasos para resolver una ecuación con x en el denominador (o racional) son:

1. Hallamos el de los denominadores. 
2. Quitamos denominadores multiplicando la ecuación por el m.c.m.
3. Resolvemos la ecuación resultante. 
4. Comprobamos las posibles soluciones para que demuestren la igualdad. 

Os dejo el siguiente gif. que explica este tipo de ecuaciones:

ECUACIÓNES CON RAICES: 

1. Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.
2. Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3. Se resuelve la ecuación obtenida.
4. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5. Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

Con un solo radical:

https://www.youtube.com/watch?v=LK7UTGQR6bA

Con mas de una raiz:

https://www.youtube.com/watch?v=V18k7riVk80

ECUACIÓNES DE TIPO (...).(...).(...) : 

Este tipo de ecuaciones son aquellas de grado superior a dos, pero que no se pueden resolver como una bicuadrada. Vamos a ver un ejemplo:

https://www.youtube.com/watch?v=X3yTGgiaFbw

y acabamos esta entrada súper larga con un pequeño chiste sobre ecuaciones. Espero que os sirva de ayuda. Cris.

Resumen para el examen del Tema 1 y 2

Aquí os dejo el resumen que os prometí. Se ve un poco mal y os pido disculpas, pero no me funcionaba el escaner y no me quería demorar mas para subirlo y que pudierais empezar a estudiar. Pichad en el siguiente enlace para abrirlo.

Recordad que en el blog hay otras entradas subidas que también os pueden servir para estudiar. 

Y ya sabéis, si practicáis con los modelos de exámenes, no tendréis problema el día 4.

https://docs.google.com/file/d/0B_ELUXViFknFM3RHcmVMRXNaeW8/edit?usp=drive_web

SUERTE A TODOS !

Solucionario Libro Anaya 4ºESO (Tema 1 y 2)

Aquí os dejo los solucionarios a los temas 1 y 2 de nuestro libro. Usadlos con cabeza!

Tema 1

Tema 2

Factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:

1º Factor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

EJEMPLOS: Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

2º Igualdad notable

Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces:

 x² − 4 = (X + 2) · (X − 2)       

Las raíces son X = − 2 y X = 2

 x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x² + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.3º Polinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1. Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3. Dividimos por Ruffini.

4. Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras, asi que seguimos por ruffini.

El polinomio se queda como:

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

EXTRAIDO DE: http://www.vitutor.net/1/factorizar.html